Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки

Введение

В цифровых системах управления вращательным движением при моделировании внешней нагрузки M = M (t, ц (t)), действующей на рабочий вал привода вращательного движения, в виде набора постоянных коэффициентов , имеющих смысл усредненных значений частных производных по времени t и углу поворота вала , мгновенную величину M (t, ц (t)) в общем случае можно представить в виде скалярного произведения , в котором вектор называемый вектором кинематических характеристик, соответствующим модели , зависит только от t и производных по t, имеющих порядок от первого до k - порядка модели .

При таком способе представления внешней нагрузки для расчета управляющего воздействия в данной системе используется работа A, которую должен совершать двигатель на заданном периоде импульсного управления T. Необходимая величина работы на отрезке изменения времени [t_i, t_i+1] как функция времени будет рассчитываться по формуле:

. (1)

Как следует из общего вида формул, получаемых после раскрытия интеграла (1), в них входят только производные по t, порядков от 1 до k. В частности, в случае использования модели нагрузки второго порядка максимальный порядок производных по t в формуле (1) равен 2. Поскольку сама зависимость (t) в (1) явно не входит, то это свойство решаемой задачи можно использовать для упрощения вспомогательной задачи интерполирования траектории перемещения вала по заданным ее узловым точкам.

Допустим, задан упорядоченный массив узлов Р_i = (t_i, _i) (i = 0, ..., n), лежащих на траектории перемещения. Для построения кусочно-полиномиальной кривой второй степени гладкости, проходящей через заданные узлы, наилучшим решением являются интерполяционные кубические сплайны [1, 2], которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в точках t₁, ..., t_n-1 (называемых внутренними) с гладкостью степени 2. Также они обладают следующим важным свойством. Если наложить на сплайн в начальном и конечном узле краевые условия (t₀) = (t_n) = 0, то он будет минимизировать функционал

,

который в случае перемещения равен минимуму работы, совершаемой инерционными нагрузками, создаваемыми перемещаемым звеном.

Рассмотрим глобальную переменную t. В математической форме полная совокупность геометрических условий относительно t, накладываемых на кубические параболы {S_i (t), i=1,2,…,n}, имеет вид:

• а) (t) = S_i (t) при t_i-1 t t_i; i =1, 2, …, n. - условие кусочности (t);
• б) S_i (t_i-1) = P_i-1; S_i (t_i) = P_i, i = 1, 2, …, n - условия прохождения сплайна S_i (t) через заданные узлы ломаной P_i-1 и P_i;
• в) , i = 1, …, n-1 - гладкость порядка 1 во внутренних узлах;
• г), i=1, …, n-1 - гладкость порядка 2 во внутренних узлах;
• д) S₁(t₀) = S_n(t_n) = 0 - краевые условия в начальном и конечном узлах. (2)

Общепринятым методом построения кубических интерполяционных сплайнов является использование локальных сплайнов Эрмита. Данные сплайны строят по двукратным узлам t_i, в которых помимо значений S_i (t_i) заданы также величины первых производных S_i(t_i). Поскольку в исходной задаче значения первых производных S_i(t_i) не задаются, их рассматривают в качестве неизвестных величин задачи, для решения которой составляют линейную систему уравнений. Матрица ее трёхдиагональна, что позволяет решать систему при помощи специальную упрощенной модификации метода Гаусса - метода прогонки [1, 2]. Основными стадиями метода прогонки являются:

• 1) расчет коэффициентов матрицы,
• 2) прямая прогонка,
• 3) обратная прогонка.

Расчет трудоемкости реализации алгоритма прогонки (таблица 1) показывает, что при максимальном сокращении расчетных формул вычислительные затраты при построении n сплайнов относительно невелики и составляют (после суммирования пп.1-3 таблицы 1): сложений 9n-3, умножений 8n-3, делений 4n-2.

Табл.1. Расчет минимального числа расчетных операций при построении n сплайнов

Существенной особенностью данного метода является то, что:

• 1) независимой переменной каждого сплайна S_i является нормированная на отрезке [t_i-1; t_i ] локальная переменная _i = (t - t_i-1)/h_i, где h_i =( t_i - t_i-1),
• 2) результирующие сплайны S_i имеют вид полиномов Эрмита,

При каждом расчете значений сплайна S_i переход 1) от глобальной переменной t к локальной _i при однократном расчете длин отрезков {} требует выполнения одного вычитания и одного деления.

Однако затраты при расчете полинома Эрмита 2) по сравнению с использованием схемы Горнера для кубического полинома (3 сложения и 3 умножения) слишком высоки и при большом числе расчетов значений сплайна S_i необходимо перейти от полинома Эрмита к каноническом виду по локальной переменной _i. Данный переход при максимальном сокращении расчетных формул при построении n сплайнов требует относительно невысоких вычислительных затрат (п.4а таблицы 1): сложений 5n, умножений 5n.

Таким образом, для построения n сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от локальных переменных _i, необходимо затратить (сумма пп.1-4а таблицы 1): сложений 14n-3, умножений 13n-3, делений 4n-2.

Существенной особенностью интерполирования при решении рассмотренной выше задачи управления является то, что в формулы интегралов работ (1) входят только старшие коэффициенты {C₁, C₂, C₃} канонических кубических полиномов, зависящих от глобальной переменной t. Свободный коэффициент C₀ не входит. Переход от сплайнов в форме полиномов Эрмита, зависящих от локальных переменных _i, к каноническим полиномам по глобальной переменной t, требует значительных вычислительных затрат (п.4б таблицы 1). В сумме для построения n сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от глобальной переменной t, необходимо затратить (сумма пп.1-3 и 4б таблицы 1): сложений 28n-3, умножений 36n-3, делений 6n-2.

Постановка задачи

Для существенного снижения вычислительных затрат предложен прямой метод построения кубических интерполирующих сплайнов, в котором сплайны рассматриваются сразу в канонической форме по глобальной переменной t без использования полиномов Эрмита, а также не рассчитываются свободные коэффициенты сплайнов C₀. Такое интерполирование в отличие от традиционного назовем частичным.

Введем для упрощения расчетов новую относительную глобальную переменную = t - t₀.

Постановка задачи. На плоскости O задан набор из (n +1) точки вида , i = 0 ,…, n. Рассмотрим на отрезках [] кубические сплайны:

S_i () = C₀ⁱ + C₁ⁱ + C₂^{i 2}/2 + C₃^{i 3}/3, i = 1, …, n. (3)

Необходимо найти коэффициенты C₁ⁱ, C₂ⁱ, C₃ⁱ всех сплайнов S_i () (i = 1, …, n) из условия гладкости степени 2 во внутренних узлах при заданных краевых условиях:

S₁(0) = 0; S_n(_n) = 0. (4)

Поскольку свободные коэффициенты C₀ⁱ сплайнов S_i () не требуется определять, рассматриваем вместо S_i () их первые производные, которые являются квадратными параболами вида:

Dⁱ() = (S_i ()) = C₁ⁱ + C₂ⁱ + C₃^{i 2}. (5)

Таким образом, частичное решение задачи интерполирования (без определения свободных коэффициентов) сплайнов S_i (), зависящих от глобальной переменной , сведено к полному расчету коэффициентов C₁ⁱ, C₂ⁱ, C₃ⁱ, i = 1, …, n соответствующих им квадратных парабол {Dⁱ()} (5).

Прямой метод частичного решения задачи интерполирования

Для решения задачи полного расчета коэффициентов C₁ⁱ, C₂ⁱ, C₃ⁱ, i = 1, …, n квадратных парабол {Dⁱ()}, зависящих от глобальной переменной , предложено использовать упрощённый (по сравнению с прогонкой, основанной на использовании полиномов Эрмита) метод, основная идея которого заключается в непосредственном расчете искомых коэффициентов без использования промежуточных представлений. Поэтому метод назван прямым.

Для определённости параболу D¹() будем называть начальной, параболы D²() - D^n-1() - внутренними, Dⁿ() - конечной. Как и в методе прогонки, в предлагаемом методе для расчета искомых коэффициентов используем прямой и обратный ход.

Прямой ход.

Основная идея прямого хода заключается в том, что старший коэффициент текущей параболы Dⁱ() (i = 1, …, n-1) линейно выражается через старший квадратный коэффициент C₃ⁱ⁺¹ следующей за ней параболы Dⁱ⁺¹(), а свободный C₁ⁱ и линейный C₂ⁱ коэффициенты параболы Dⁱ() выражаются C₃ⁱ:

C₃ⁱ = A₃ⁱ C₃ⁱ⁺¹ + B₃ⁱ;

C₁ⁱ = A₁ⁱ C₃ⁱ + B₁ⁱ;

C₂ⁱ = A₂ⁱ C₃ⁱ + B₂ⁱ. (6)

Отдельно рассмотрим начальную параболу D¹(), внутренние параболы D²() - D^n-1() и конечную Dⁿ().

1. D1(). Из условия S1(0) = 0 следует: (D1(0)) = C21+C310 = 0. Отсюда получаем: C21 = 0. При этом для коэффициента

C₂¹: A₂¹ = В₂¹ = 0. (7)

Из условий прохождения сплайна S¹() через точки и следует:

S₁ (₀= 0) = C₀¹ = ₀; S₁ (₁) = C₀¹+ C₁¹ ₁ + C₂¹ ₁²/2 + C₃¹ ₁³/3 = ₁ .

Вычтем из второго соотношения первое с учетом C₂¹ = 0:

C₁¹₁ + C₃¹ ₁³/3 = ₁, где ₁ = ₁ - _0.

Из этого равенства выразим линейную зависимость C₁¹ (C₃¹):

C₁¹ = ₁ /₁ - C₃¹ ₁²/3 = A₁¹ С₃¹ + В₁¹; A₁¹ = -₁² /3; В₁¹ = ₁ /₁. (8)

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов C₁¹ и C₂¹ начальной параболы через старший C₃¹ следующие:

A₁¹ = -₁² /3; В₁¹ = ₁/₁;

A₂¹ = 0; В₂¹ = 0. (9)

Выражение (6) для старшего коэффициента C₃¹ у начальной параболы определяется при анализе параболы D²().

2. Рассмотрим внутренние параболы Di(), i = 2, …, n -1.

К началу их анализа для предыдущей параболы D^i-1() известны линейные зависимости:

C₁^i-1 = A₁^i-1 C₃^i-1 + В₁^i-1;

C₂^i-1 = A₂^i-1 C₃^i-1 + В₂^i-1. (10)

Подставим формулы парабол D^i-1 () и Dⁱ () в условия гладкости второй степени в узле = _i-1 для сплайнов S_i-1 () и S_i () (S_i-1(_i-1) = S_i(_i-1); S_i-1(_i-1) = S_i(_i-1)):

C₁^i-1 + C₂^i-1 _i-1 + C₃^i-1 _i-1² = C₁ⁱ + C₂ⁱ _i-1 + C₃ⁱ _i-1²;

C₂^i-1 + 2C₃^i-1 _i-1 = C₂ⁱ + 2C₃ⁱ _i-1.

Умножая обе части второго соотношения на (-_i-1), складываем его с первым. При этом получим систему уравнений более простого вида:

C₁^i-1 - C₃^i-1 _i-1² = C₁ⁱ - C₃ⁱ _i-1²;

C₂^i-1 + 2C₃^i-1 _i-1 = C₂ⁱ + 2C₃ⁱ _i-1.

Подставим в уравнения полученной системы зависимости (10):

• (A₁^i-1 - _i-1²)C₃^i-1 + В₁^i-1 = C₁ⁱ - C₃ⁱ _i-1²;
• (A₂^i-1 +2_i-1) C₃^i-1 + В₂^i-1 = C₂ⁱ + 2C₃ⁱ _i-1. (11)

интерполирование сплайн нагрузка

Из условий S_i (_i-1) = _i-1; S_i (_i) = _i получим уравнение:

C₁ⁱ + C₂ⁱ(_i-1 + _i) /2 + C₃ⁱ(_i-1² + _i-1i + _i²) /3 = _i / _i, (12)

где _i = _i - _i-1, _i = _i - _i-1.

Складывая (12) с первым уравнением (11) и вторым, умноженным на (_i-1 + _i) /2, получим соотношение, содержащее только коэффициенты C₃^i-1 и C₃ⁱ:

(A₁^i-1 - _i-1²)C₃^i-1 + В₁^i-1 + (A₂^i-1 + 2_i-1) C₃^i-1(_i-1 + _i) /2 + В₂^i-1(_i-1 + _i) / 2 + C₃ⁱ(_i-1² + _i-1i + _i²) /3 = _i / _i - C₃ⁱ _i-1² + 2C₃ⁱ_i-1 (_i-1 + _i) / 2.

Преобразуя его, выразим C₃^i-1 через C₃ⁱ:

C₃^i-1 [A₁^i-1 + A₂^i-1(_i-1 + _i) /2 + _i-1i] = C₃ⁱ[-(_i-1² + _i-1i + _i²) /3 + _i-1i] + _i / _i-1 - В₁^i-1 - В₂^i-1(_i-1 + _i)/2;

C₃^i-1 = A₃^i-1 C₃ⁱ + B₃^i-1;

_(i)кв =_i²; A₃^i-1 = - _(i)кв / (3К); B₃^i-1 = (_i / _i - В₁^i-1 - В₂^i-1 _icp) /К;

_icp = (_i-1 + _i) /2 ; К = A₁^i-1 + A₂^i-1_icp + _i-1i. (13)

После подстановки (13) в уравнения системы (11) выражаем из них искомые зависимости C₁ⁱ(C₃ⁱ) и C₂ⁱ(C₃ⁱ):

C₁ⁱ = (A₁^i-1 - _i-1²)C₃^i-1 + В₁^i-1 +C₃ⁱ _i-1² = (A₁^i-1 - _i-1²)(A₃^i-1 C₃^i-1 + B₃^i-1) + В₁^i-1 +C₃ⁱ _i-1² = A₁ⁱ C₃ⁱ + B₁ⁱ,

Fⁱ = A₁^i-1 - _(i-1)кв; A₁ⁱ = A₃^i-1 Fⁱ + _(i-1)кв; B₁ⁱ = B₃^i-1 Fⁱ + В₁^i-1;

C₂ⁱ = (A₂^i-1 +2_i-1) C₃^i-1+ В₂^i-1 - 2C₃ⁱ _i-1 = (A₂^i-1 +2_i-1) (A₃^i-1 C₃^i-1 + B₃^i-1)+ В₂^i-1 - 2C₃ⁱ _i-1 =A₂ⁱ C₃ⁱ + B₂ⁱ;

где _(i-1)у2 =2_i-1; Gⁱ = A₂^i-1 + _(i-1)у2; A₂ⁱ = A₃^i-1 Gⁱ - _(i-1)у2; B₂ⁱ = B₃^i-1 Gⁱ + В₂^i-1

Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов C₁ⁱ и C₂ⁱ и старшего коэффициента C₃^i-1 параболы D^i-1 через старший коэффициент C₃ⁱ параболы Dⁱ следующие:

_(i-1)кв=_(i-1) ²; _(i)кв =_i²; _icp = (_i-1 + _i) /2 ; _i = _i - _i-1, _i = _i - _i-1;

К = A₁^i-1 + A₂^i-1_icp + _i-1i; Fⁱ = A₁^i-1 - _(i-1)кв; _(i-1)у2 =2_i-1; Gⁱ = A₂^i-1 + _(i-1)у2;

A₃^i-1 = - _(i)кв / (3К); B₃^i-1 = (_i / _i - В₁^i-1 - В₂^i-1 _icp) /К;

A₁ⁱ = A₃^i-1 Fⁱ + _(i-1)кв; B₁ⁱ = B₃^i-1 Fⁱ + В₁^i-1;

A₂ⁱ = A₃^i-1 Gⁱ - _(i-1)у2; B₂ⁱ = B₃^i-1 Gⁱ + В₂^i-1. (15)

3. Конечная парабола Dn().

К началу ее анализа для предыдущей параболы D^n-1() известны зависимости:

C₁^n-1 = A₁^n-1C₃^n-1 + В₁^n-1;

C₂^n-1 = A₂^n-1 C₃^n-1 + В₂^n-1. (16)

Из условий гладкости второй степени в предпоследнем узле = _n-1 для сплайнов S_n-1() и S_n() (S _n-1(_{n -1}) = S_n(_{n -1}); S _n-1(_{n -1}) = S_n(_{n -1})) получим:

C₁^n-1 + C₂^n-1 _n-1 + C₃^n-1 _{n -1}² = C₁ⁿ + C₂ⁿ _{n -1} + C₃ⁿ _{n -1}²;

C₂^n-1 + 2C₃ ^n-1 _n-1 = C₂ⁿ + 2C₃ⁿ _{n -1}.

Аналогично умножаем обе части второго соотношения на (-_n-1), складываем его с первым и получаем систему более простого вида:

C₁^n-1 - C₃^n-1 _{n -1}² = C₁ⁿ - C₃ⁿ _{n -1}²;

C₂^n-1 + 2C₃^n-1 _{n -1} = C₂ⁿ + 2C₃ⁿ _{n -1}.

Подставим в уравнения системы зависимости (16):

• (A₁^n-1 - _{n -1}²)C₃^n-1 + В₁^n-1 = C₁ⁿ - C₃ⁿ _n-1²;
• (A₂^n-1 + 2_{n -1})C₃^n-1 + В₂^n-1 = C₂ⁿ + 2C₃ⁿ _{n -1}. (17)

Аналогично из условий S_n(_n-1) = _{n -1}; S_n(_n ) = _n получим уравнение:

C₁ⁿ + C₂ⁿ(_{n -1} + _n )/ 2 + C₃ⁿ(_{n -1}² + _{n -1 n} + _n ²)/ 3 = _n / _n, (18)

где _n = _n - _{n -1}, _n = _n - _{n -1}.

Дополнительно для данной параболы из второго краевого условия (4) получим еще одно уравнение:

C₂ⁿ + 2C₃ⁿ _n = 0. (19)

Четыре уравнения системы (17) - (19) содержат 4 неизвестных коэффициента: C₃^n-1; C₁ⁿ ; C₂ⁿ; C₃ⁿ. Найдем их величины.

Выразим из (17) C₂ⁿ (C₃ⁿ):

C₂ⁿ = A₃ⁿ C₃ⁿ + B₃ⁿ,

где A₃ⁿ = - 2_n; B₃ⁿ = 0. (20)

Полученное выражение подставим во второе выражение (17) и найдем зависимость C₃^{n -1} (C₃ⁿ):

(A₂ ^{n -1} + 2_{n -1})C₃ ^{n -1} + В₂ ^{n -1} = - 2C₃ ⁿ _n + 2C₃ ⁿ _{n -1};

C₃ ^{n -1} = A₃ ^{n -1} C₃ ⁿ + B₃ ^{n -1},

где A₃^{n -1} = - 2_n / (A₂ ^n-1 + 2_{n -1}); B₃ ^{n -1} = - В₂ ^{n -1} / (A₂ ^n-1 + 2 _{n -1}). (21)

Подставляя данную зависимость в первое уравнение (17), найдем из него выражение для C₁ⁿ (C₃ⁿ):

(A₁ ^{n -1} - _{n -1}²)[-(2 _n C₃ ⁿ + В₂ ^{n -1})/(A₂ ^{n -1} + 2_{n -1})] + В₁ ^{n -1} = C₁ⁿ - C₃ ⁿ _{n -1}²;

C₁ ⁿ = A₁ ⁿ C₃ ⁿ + B₁ ⁿ,

где A₁ ⁿ = [-2_n (A₁ ^{n -1} - _n-1²)/(A₂ ^{n -1} + 2 _{n -1}) + _{n -1}²];

B₁ ⁿ =В₂ ^{n -1} (A₁ ^{n -1} - _{n -1}²)/(A₂ ^{n -1} + 2_{n -1})+В₁ ^{n -1}. (22)

Подставляя зависимости (20) и (22) в уравнение (18), найдем из него выражение для коэффициента C₃ⁿ:

[-2_n (A₁^{n -1} - _{n -1}²) / (A₂ ^{n -1} + 2 _{n -1}) + _{n -1}²]C₃ ⁿ + В₂ ^{n -1}(A₁ ^{n -1} - _{n -1}²)/(A₂ ^{n -1} + 2_{n -1}) + В₁ ^{n -1} - 2C₃ ⁿ _n(_{n -1} + _n)/ 2 + C₃ ⁿ(_{n -1}² + _{n -1 n} + _n ²)/ 3 = _n / _n;

C₃ ⁿ =[_n/_n-В₂ ^{n -1}(A₁ ^{n -1} - _{n -1}²)/(A₂ ^{n -1} + 2_n-1)-В₁^{n -1}]/[-2 _n(A₁^{n -1}- _{n -1}²) / (A₂ ^{n -1}+2_{n -1})-2_n (2_{n -1}+_n)/3]. (23)

Таким образом, для конечной параболы Dⁿ() величина старшего коэффициента C₃ⁿ определяется не зависимостью вида (6), а формулой (23).

Для сокращения числа расчетных операций предложен следующий алгоритм расчета коэффициентов конечной параболы {C₁ⁿ; C₂ⁿ; C₃ ⁿ}и значения старшего коэффициента C₃ ^{n -1} параболы D^{n -1}():

C₃ ⁿ =[_n/_n-В₂ ^{n -1} Е ⁿ -В₁^{n -1}]/[F ⁿ( Е ⁿ+(G ⁿ+_n)/3];

_(n-1)кв=_{n -1}²; G ⁿ=2_{n -1}; H ⁿ=1/(A₂ ^n-1+G ⁿ); Е ⁿ=(A₁^{n -1}- _(n-1)кв)H ⁿ; F ⁿ =-2 _n;

C₁ⁿ = [F ⁿЕ ⁿ + _{(n -1)кв}] C₃ ⁿ + В₂ ^{n -1}Е ⁿ +В₁ ^{n -1};

C₂ⁿ = (- 2_n) A₃ⁿ C₃ⁿ;

C₃ ^{n -1} = F ⁿ H ⁿ C₃ ⁿ - В₂ ^{n -1}H ⁿ. (24)

Обратный ход.

Заключается в последовательном расчете коэффициентов оставшихся квадратных парабол Dⁱ(), i = n-1,…,1. Выполняется в последовательности, обратной прямому ходу.

Для каждой параболы Dⁱ() (i=n-1,…,1), по уже рассчитанному значению старшего коэффициента C₃ⁱ⁺¹ параболы Dⁱ⁺¹() по формулам (6) вначале рассчитывается старший коэффициент C₃ⁱ , а по нему - младшие C₁ⁱ и C₂ⁱ.

Расчетный алгоритм и оценка его трудоемкости

Начальные данные: координаты точек , (i = 0, …, n), ₀ = 0.

Необходимо определить: массивы коэффициенты C₁ⁱ, C₂ⁱ, C₃ⁱ набора сплайнов S_i () (i = 1, …, n), обеспечивающих гладкость второй степени во внутренних узлах при краевых условиях: S₀(0) = 0; S_{n -1}(_n) = 0.

Начальные действия. Вводим вспомогательные массивы{A₃ⁱ}, {В₃ⁱ}, {A₁i}, {В₁i}, {A₂i}, {В₂i}, в которых номера элементов изменяются от 1 до n -1. Поскольку в расчетах коэффициентов соседних парабол повторяются вычисления квадратов значений времени _i, то перед началом вычислений предварительно рассчитываем их:

_(i)кв =_i²; 1, …, n . (25)

Шаг 1. Прямой ход. Расчет вспомогательных коэффициентов A₁¹, В₁¹, A₂¹, В₂¹ для начальной параболы D¹(). Из (9) следует:

A₁¹ = -_(1)кв / 3; В₁¹ = (₁ - ₀)/₁; A₂¹ = В₂¹ = 0. (26)

Шаг 2. Прямой ход. Цикл по внутренним параболам (i = 1, …, n -1). Расчет вспомогательных коэффициентов A₁ⁱ, В₁ⁱ, A₂ⁱ, В₂ⁱ для внутренней параболы Dⁱ(), а также коэффициентов A₃^i-1, В₃^i-1 для параболы D^i-1() выполняем по формулам (15):

_icp = (_i-1 + _i) /2 ; _i = _i - _i-1, _i = _i - _i-1; К = A₁^i-1 + A₂^i-1_icp + _i-1i;

Fⁱ = A₁^i-1 - _(i-1)кв; _(i-1)у2 =2_i-1; Gⁱ = A₂^i-1 + _(i-1)у2;

A₃^i-1 = - _(i)кв / (3К); B₃^i-1 = (_i / _i - В₁^i-1 - В₂^i-1 _icp) /К;

A₁ⁱ = A₃^i-1 Fⁱ + _(i-1)кв; B₁ⁱ = B₃^i-1 Fⁱ + В₁^i-1;

A₂ⁱ = A₃^i-1 Gⁱ - _(i-1)у2; B₂ⁱ = B₃^i-1 Gⁱ + В₂^i-1. (27)

Шаг 3. Прямой ход. Расчет коэффициентов C₃ⁿ, C₁ⁿ, C₂ⁿ, C₃ ^n-1 выполняем по формулам (24):

G ⁿ=2_{n -1}; H ⁿ=1/(A₂ ^n-1+G ⁿ); Е ⁿ=(A₁^{n -1}- _(n-1)кв)H ⁿ; F ⁿ =-2 _n;

C₃ ⁿ =[_n/_n-В₂ ^{n -1} Е ⁿ -В₁^{n -1}]/[F ⁿ( Е ⁿ+(G ⁿ+_n)/3];

C₁ⁿ = [F ⁿЕ ⁿ + _{(n -1)кв}] C₃ ⁿ + В₂ ^{n -1}Е ⁿ +В₁ ^{n -1};

C₂ⁿ = (- 2_n) A₃ⁿ C₃ⁿ;

C₃ ^{n -1} = F ⁿ H ⁿ C₃ ⁿ - В₂ ^{n -1}H ⁿ. (28)

Шаг 4. Обратный ход. Цикл по параболам с номерами i = n -1, …, 1. Расчет их коэффициентов C₁ⁱ, C₂ⁱ, C₃ⁱ.

C₃ⁱ = A₃ⁱ C₃ⁱ⁺¹ + B₃ⁱ;

C₁ⁱ = A₁ⁱ C₃ⁱ + B₁ⁱ;

C₂ⁱ = A₂ⁱ C₃ⁱ + B₂ⁱ. (29)

Замечание. Если необходимо найти свободные коэффициенты сплайнов C₀ⁱ, например - для визуализации формы получаемых сплайнов с целью проверки качества получаемых решений, то их проще всего найти по формуле:

C₀ⁱ = _i - C₁ⁱ _i - C₂ⁱ _i² /2 - C₃ⁱ _i³ / 3, i = 1, …, n. (30)

Суммарные затраты на выполнение прямого сокращенного метода расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов представлены в таблице 2.

Табл. 2. Количество расчетных операций при построении n сплайнов

Заключение

Выполненные расчеты трудоемкости алгоритма с применением сплайнов Эрмита и алгоритма прямого частичного расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов (таблицы 1 и 2) показывают, что предложенный метод является значительно менее затратным при решении задач управления с прогнозированием.

В сравнении с затратами метода прогонки на построение сплайнов, зависящих от глобальной переменной (что требуется в задаче управления с предсказанием), предложенный метод сокращает число каждой из основных операций примерно в 2 раза.

Список литературы

• 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002 г. - 632 с.
• 2. Гданский Н.И. Геометрическое моделирование и машинная графика. - М.: МГУИЭ, 2003 г. - 236 с.