Анализ абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем посредством вычисления иннорных определителей

Предлагаются рекуррентные математические выражения, позволяющие посредством разработанной программы определить коэффициенты специального полинома, получаемого из передаточной функции нелинейной импульсной системы любого порядка. Приводится методика проверки строгой положительности полученного полинома (являющегося аналогом характеристического полинома системы) по знакам определителей иннорной матрицы и тем самым определить факт абсолютной устойчивости системы.

Ключевые слова: нелинейные импульсные системы, вычисление коэффициентов полинома, построение иннорных матриц, определение абсолютной устойчивости по знакам определителей инноров.

Критерий абсолютной устойчивости нелинейных импульсных систем (НИС) с неустойчивой или нейтральной линейной импульсной частью (ЛИЧ) имеет вид [1-3]:

полином нелинейный импульсный система

где Т₀ - период квантования; щ₀ - частота квантования; щ - круговая частота; - частотная характеристика ЛИЧ системы

Графическую проверку выполнения критерия (1) для систем с ЛИЧ высокого порядка практически выполнить сложно ввиду трансцендентности выражения (2). Используя w-преобразование, можно перейти от трансцендентной функции (2) к алгебраической и тем самым исключить указанные трудности. Критерий (1) в этом случае примет вид:

Где w = jv, v = tg(щT₀/2) - относительная псевдочастота; характеристика Ц(у) нелинейного элемента (НЭ) удовлетворяет условию:

Передаточную функцию ЛИЧ НИС представим в виде:

где (6)

при n четном S = n/2, S₁ = (n-2)/2; при n нечетном S = S₁ = (n-1)/2; n - поря-док W_ЛИЧ (w), c_i и d_i - коэффициенты, выражаемые через параметры ЛИЧ НИС.

Подставляя (5) в (3), после преобразований получим неравенство, равносильное критерию (3):

k_о (k+r)[б₁(н)б₂(н) + в₁(н)в₂(н)] + k²_оrk[б²₁(н) + в²₁(н)] + б²₂(н) + в²₂(н) =

где a_k -действительные числа

Таким образом, НИС будет абсолютно устойчива, если уравнение

не будет иметь положительных вещественных корней для всех н.

Подставляя (6) в (7), после преобразований получим:

откуда следует:

где c_2k-i= d_2k-i = 0 при 2k-i > n; c_i = d_i = 0 при i > n.

Выражение (8) легко поддается процессу итерации и нахождение коэффициентов a_k полинома P(н²) водится к однородным вычислительным процедурам.

Для проверки строгой положительности полинома P(н²) применим ин-

норы [4 - 8]. Из коэффициентов a_k образуем следующие иннорные матрицы:

a_n a_n-1 a_{n-2 ………………....}a …………….….………...0

• 0 a_n a_n-1 a_{n-2……………..} a ………….…..……...0
• 0 0 a_n a_n-1 a_n-2……... a₀ 0………..…..…..…....0
• 0……………………………………………………………a_{0 ……}0
• 0……..…0 a_n a_n-1 a_{n-2…………………} a₀

Д_2n-1= 0…….…...…0.. Д₃= 0 Д₁=a_n a_{n-1…………..……...….}a₁ (9)

• 0……..……....... ₍n-1)a_n-1 (n-2)a_n-2…. a_{n1…… ….…...}a₁ 0
• 0 ……..………………………………………………..…a₁ 0 0

………………………………………………………………….

0 na_n (n-1)a_n-1 (n-2) a_n2…………a₁ 0....…… 0

na_n (n-1)a_n-1 (n-2) a_n2………….………a₁ 0………...…0

a_n a_n-1 a_{n-2 ………………..………………….…....}a₀ 0……...........….…0

• 0 a_n a_n-1 a_{n-2………………………..…………..} a₀ 0….…….…...0
• 0 0 a_n a_n-1 a_{n-2………….……..……………...} a₀ 0……....0
• 0…………………….………………………….……….a 0
• 0………...…0 a_n a_n-1 a_{n-2…………..} a

Д_2n= 0………..…0... Д₁=a_n a_{n-1…………..…….} a_{1 ..…} a₁ a₀ (10)

• 0……..….... Д₄= ₍n-1)a_n-1 (n-2)a_n-2…. a_{n1…… ….…….} a₁ 0
• 0 ……………………………………………………..…a₁ a₁ 0 0

……………………………………………………………………….

0 na_n (n-1)a_n-1 (n-2) a_n2………...a₁………. 0 0 0

na_n (n-1)a_n-1 (n-2) a_n2………………….a₁ ….…. 0 0 0 0

Полином P(н²) будет строго положителен, если [4]:

V₂[1, -Д₂, Д₄,…,(-1)ⁿД_2n] = V₁[1, Д₁, Д₃,…,Д_2n-1]

где Д₂, Д₄,…,Д_2n - иннорные определители 2, 4,…,2n-го порядка матрицы (10); Д₁, Д₃,…,Д_2n-1 - иннорные определители 1, 3,…,2n-1-го порядка матрицы (9). При этом необходимым условием строгой положительности корней полинома является a₀>0 и a_n>0.

Для вычисления иннорных определителей, матрицы (9) и (10) можно

привести к треугольной форме, используя алгоритм Гаусса [9]. Однако наличие в матрицах (9) и (10) левых треугольников нулей обеспечивает чрезвычайную эффективность алгоритма двойной триангуляризации [10, 11], позволяющего с минимальными вычислительными затратами найти значения иннорных определителей, выполнив в 2 - 4 раза меньше проходов по сравнению с алгоритмом Гаусса. На рис. 1 приводится обобщенная схема алгоритма анализа абсолютной устойчивости НИС, реализующая данную процедуру на ЭВМ.

Рис. 1 Схема алгоритма анализа абсолютной устойчивости НИС

Иллюстративный пример [1]: Проведем анализ абсолютной устойчивости НИС пятого порядка, передаточная функция ЛИЧ которой в w- форме имеет вид:

Характеристика нелинейного элемента удовлетворяет условию (4) с параметрами r = 0,2; k = 5. В результате работы программы получим:

Д₁ = 0,3881·10⁵; Д₃ = 2,5975·10¹⁵; Д₅ = 2,7599·10²⁶; Д₇ = -6,5206·10³⁵;

Д₉ = -2,621·10³⁹ Д₂ = 3,118·10¹⁰; Д₄ = -9,6403·10²⁰; Д₆ = 9,848·10³⁹

Д₈ = 1,0964·10³⁸ Д₁₀ = 5,8027·10³⁹.

V2 [·] = V2 [+,-,-,-, +,-] =3; V1 = V₁ [+, +, +,-,-,-] = 1.

Ряды V2[·] и V₁ неравны, следовательно, исследуемая НИС не является абсолютно устойчивой и необходима коррекция системы.

Литература

• 1. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973, 416 с.
• 2. Погорелов В.А., Соколов С.В. Основы синтеза многоструктурных бесплатформенных навигационных систем. Физматлит, 2009. 182 с.
• 3. Соколов С.В., Синютин С.А. Решение задачи тесной интеграции инерциально-спутниковых навигационных систем, комплексируемых с одометром. Инженерный вестник Дона, 2014, №4, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2716.
• 4. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука. 1979, 304 с.
• 5. Серпенинов О.В., Соколов С.В., Тищенко Е.Н. Криптографическая защита информации. МОН РФ, РГЭУ, 2011, 251с.
• 6. Смирнов Ю.А., Соколов С.В., Титов Е.В. Основы микроэлектроники и микропроцессорной техники. Лань, 2013, 656 с.
• 7. Sokolov S.V., Yugov Yu.M. Synthesis of integrated inertial and satellite navigational systems on the basis of stochastic filter, invariant to object model. ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences, vol. 10, № 1, January 2015, pp. 265-273.
• 8. Соколов С.В. Синютин С.А. Лукасевич В.И. Тесная интеграция инерциально-спутниковых навигационных систем, комплексируемых с одометром, на основе использования электронных карт. Инженерный вестник Дона, 2014, №4, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2717.
• 9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 5-е изд. М.: Физматлит, 2004. 560 с.
• 10. Jury I., Ahn S.M. A compulatioal algorithm for inners. IEEE Trans. on Automatic Control. 1972. V. AC-17, pp. 541 - 543.
• 11. Смирнов Ю.А., Соколов С.В., Титов Е.В. Основы нано- и функциональной электроники. Лань, 2013, 448 с.